常用公式

Summary

散乱地分布着一些重要但是我不太熟悉的函数或公式以及他们的性质。

以后可能会进行进一步的整理。

$\sec x$

• $\sec x=\frac{1}{\cos x}$
• 偶函数
• 导数： $\sec x\tan x$

$\csc x$

• $\csc x=\frac{1}{\sin x}$
• 奇函数

$\ln (x+\sqrt{1+x^2})$

• 奇函数
• 导数：$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
• 当 $x\to 0$，$\ln (x+\sqrt{1+x^2})\sim x$

$[x]$

• 取整函数
• 本质： $x-1<[x]\le x$ （可用于夹逼）

$n^{\frac{1}{n}}$

• ${\lim }_{n\to \infty }{n}^{\frac{1}{n}}=e^0=1$

$f(x)=\frac{1}{2^x+1}-\frac{1}{2}$

• 奇函数

$C_m^n$

• 排列组合
• $=\frac{A_m^n}{A_n^n}=\frac{m\cdot (m-1)\cdots (m-n+1)}{n\cdot (n-1)\cdots 1}$
• 分母和分子都含有 $n$ 项

$\sqrt{u^2}=|u|$

• 平方开根号加绝对值
• 绝对值可拟变换到平方开根号

$y=\frac{e^x}{x}$

• 函数图像:

$$\frac{x}{\tan x}<1<\frac{\tan x}{x}$$

条件：当 $0<x<\frac{\pi }{4}$ 。

椭圆面积公式

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

则其面积为： $S=\pi ab$

其中 $a$ 是椭圆长半轴， $b$ 是椭圆短半轴。