两个重要极限

1. $\sin x/x$

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

图像

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2. $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$

${\lim }_{x\to \infty }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

图像

$x>0$ 时的性质

• $f(x)$ 单调减少
• ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=e$
• $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}\sim -\frac{e}{2}x(x\to 0^{+})$

变式

${\lim }_{x\to \infty }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$

图像

Tip

变量广义化，超级小狗！