函数极限

函数极限定义

极限的定义一般使用 $\epsilon -\delta$ 语言进行描述：

$\epsilon -\delta$ 语言

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0,当0<|x-x_0|<\delta 时,有|f(x)-A|<\epsilon$

但我们也可以用人话来解释一遍：

人话

前提

函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 去心邻域内有定义。（在极限点处可以无定义）

要求

若函数 $f(x)$ 的极限点为 $x_0$ ，极限值为 $A$ ，那么当自变量 $x$ 无限接近 $x_0$ 时，其函数值 $f(x)$ 也会无限接近极限值 $A$。

函数极限的性质

唯一性

如果极限存在，则极限唯一。

局部有界性

如果 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$ ，则在 $x_0$ 附近存在一定范围，使函数有界。

官方定义

存在正常数 $M$ 和 $\delta$ ，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)|\le M$

局部保号性 重要

若 $f(x)\to A(x\to x_0)$ 且 $A>0$ ，那么 $x_0$ 点的某去心邻域有 $f(x)\ge 0$ 。小于同理。

$$\lim f>0\Rightarrow f>0$$ $$f\ge 0\Rightarrow \lim f\ge 0$$

脱帽法：脱帽严格不等，戴帽非严格不等。