函数的连续与间断

Tip

连续与间断的判别，本质是极限计算问题。不需要过多纠结概念，只需要按照定义进行应用即可。 连不是真正的连，断是真正的断。

连续点

官方定义

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 某一邻域内有定义，且有：

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

人话版

函数在 $x_0$ 的极限值与 $f(x_0)$ 相等，就称为连续。

使用版

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

$\Rightarrow f(x)=f(x_0)+o((x-x_0{)}^0)$

Tip

1. 连续 这个概念在日常生活中十分常见，理解起来并不困难。
2. 所有初等函数在其定义区间都是连续的。因此我们只需要讨论 极个别 可能出现的不连续情况就能完全掌握。
3. 需要讨论左右极限时，若左极限与右极限均等于函数值，即在该点连续。反之亦然。
4. 保号性： 若函数值在某点连续，且函数值大于（或小于）0，那么这个点附近的函数值也都大于（或小于）0。

连续性运算法则

连续性的四则运算法则

两函数均在某点连续，二者进行四则运算后也在该点连续。

做除法时注意被除数不能为零。

复合函数的连续性

两函数在某点连续，复合后仍在该点连续。

反函数的连续性

某函数在某区间 单调且连续 ，其反函数在对应区间连续且 单调性不变 。

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间断点

定义与分类

一般情况，我们对某个函数的间断点只研究三个东西：

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)\\ & \underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)\\ & f(x_0)\end{array}$$

对前两个值的不同情况进行 排列组合 可以得到不同的间断点：：

第一类间断点

1. 可去间断点（可补间断点）

   若函数 $x_0$ 点 极限值 不等于该点 函数值（甚至可以无定义）那么该点为可去间断点：

   ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\ne f(x_0)$

   $f(x_0)$ 即可使函数在 $x_0$ 连续。

   只要修改或补充

2. 跳跃间断点

   若函数在 $x_0$ 点 左极限 和 右极限 均存在，但二者 不等，则该点为跳跃间断点：

   ${\lim }_{x\to x_0^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to x_0^{+}}f(x)$

第二类间断点

3. 无穷间断点

   若函数 $x_0$ 点左右极限至少有一个无穷大，则该点为无穷间断点。

   ${\lim }_{x\to x_0^{-}/x_0^{+}}f(x)=\infty$

   最简单的例子： $y=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处为无穷间断点。

4. 震荡间断点

   若 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$震荡不存在，则该点为震荡间断点。

   例子 $y=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处没有定义，且 $x\to 0$ 时函数在 $-1$ 和 $1$ 之间震荡。

   

5. 其他第二类间断点

   Tip

   对于考研数学，我们不考虑其他第二类间断点。

注

注 1

$$\begin{array}{rl}& 若f(x)在x=x_0连续\\ \iff & \underset{\Delta x\to 0}{\lim }[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0\\ \iff & \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\Delta f(x_0)=0\end{array}$$

证明连续尽量用定义，正面思考；证明不连续可以举反例。

注2

连续，不是两个点是连着的的意思，不能用几何上的“不断开”来思考。请尽量使用定义来思考！