数列的相关概念

人话定义

数列

一系列数（一般是无穷个），每一个数字都拥有自己的编号 $x_n$ 。该数列简记为 $\{x_n\}$ 。

Tip

$n\in {\mathbb{N}}_{+}$ ；

数列 $\{x_n\}$ 可看作函数 $f(n)$ 当自变量 $n$ 依次取一切正整数，所得的函数值排成的数列。

项

数列中的每一个数，第 $n$ 项 $x_n$ 被称作一般项（通项）。

子列

从数列 $\{x_n\}$ 中选取无穷多项，并按原来的先后顺序组成新的数列，这个新数列被称为原数列的子列。

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常见数列

等差数列

首项为 $a_1$ ，公差为 $d$ 的数列。

1. 通项公式

   $a_n=a_1+(n-1)d$

2. 前 $n$ 项和

   $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$

等比数列

首项为 $a_1$ ，公比为 $r(r\ne 0)$ 的数列。

1. 通项公式

   $a_n=a_1{r}^{n-1}$

2. 前 $n$ 项和

$$S_n=\{\begin{array}{ll}n{a}_1,& r=1,\\ \frac{a_1(1-r^n)}{1-r},& r\ne 1.\end{array}$$

3. 常用公式

$1+r^2+\cdots +r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}(r\ne 1)$

单调数列

对于所有正整数 $n$ ，都有：

$a_{n+1}\ge a_n(a_{n+1}\le a_n)$

则称该数列为单调不减（不增）数列。

若将等号去掉，变为严格大于（小于），则称该数列为单调递增（递减）数列。

单调递增和单调递减数列统称为单调数列。

有界数列

若对于所有正整数 $n$ ，都存在正整数 $M$ ，使：

$|a_n|\le M$

则称该数列为有界数列。

证明数列有界的常用方法

待完善

1. 加绝对值，用定义法
2. 放缩法
3. 求最值

常见数列求和

1. 等差数列

$1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

2. 平方求和

$1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3. 裂项相消 重要

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots +\frac{1}{n\times (n+1)}=\frac{n}{n+1}$

重要数列的结论

$\{(1+\frac{1}{n}{)}^n\}$

对于上述数列，有以下几点性质：

• 单调递增;
• 该数列的极限： ${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e.$

无界变量

与无界变量相对的是有界变量。容易混淆的无穷大。

无界变量和无穷大量有什么关系？

无穷大一定无界，无界不一定是无穷大。

无穷大量是一个函数，里面所有的点都是“无穷大”，而无界变量则可以有一部分在有界内。例如： 当 $n$ 为奇数时， $x_n=\frac{1}{x}$ ；当 $n$ 为偶数时， $x_n=x$ 。当 $n\to \infty$ ，$x_n$ 是无界大量。