数列极限

数列极限的定义

人话版

数列 $\{x_n\}$ 中任何一个数，和某一个自然数 $\alpha$ 的距离可以无限小。（类比函数极限）称常数 $\alpha$ 是该数列的极限。

${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=\alpha$

Tip

$n$ 离散着趋向正无穷。数列极限中特指正无穷。

收敛数列

该数列存在极限。数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $\alpha$。

发散数列

该数列不存在极限。

部分结论

1. 若数列收敛，则其任何子列均收敛，且均收敛于同一个极限。

Tip

因此想要证明数列发散，可以证明：一个子列发散，或两个不同子列极限不同。
某子列收敛无法证明原数列收敛。

2. 只要数列极限存在，两边可以直接加绝对值

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=A,则{\lim }_{n\to \infty }|a_n|=|A|$

Tip

一般情况下，该命题反过来是不成立的。但如果 $A=0$ ，那么命题可以反过来。且该结论对函数也成立。 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=0,\iff {\lim }_{x\to x_0}|f(x)|=0$