微分的概念

引例

请记住这个例子，来更好地理解概念。

设正方形边长为 $1$，当其边长增加 $\Delta x$ 时，其面积增加：

$$\Delta S=2\Delta x+(\Delta x{)}^2$$

分别对应两个小长方形与小正方形的面积。其满足：

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(\Delta x{)}^2}{\Delta x}=0$$

• $2\Delta x$ 是增量的主要部分，也叫线性主部。

• $(\Delta x{)}^2$ 即为 $o(\Delta x)$。它为 $\Delta x\to 0$ 时的高阶无穷小，是误差。

• 当 $\Delta x)$ 足够小时，有 $\Delta S\approx 2\Delta x$。

概念

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处有：

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$$

若存在与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$ ，使得：

$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$

则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可微。

$A\Delta x$ 称作线性主部，也叫做 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分。记作：

$\mathrm{d}y{|}_{x=x_0}=A\Delta x$

$或\mathrm{d}y{|}_{x=x_0}=f^{\prime }(x_0)\mathrm{d}x$

区分 $\mathrm{d}y$ 和 $\Delta y$

$\Delta y=\mathrm{d}y+o(\Delta x)$

$\mathrm{d}y$ 和 $\Delta y$ 不同。二者相差一个高阶无穷小的误差。

注：

可微的判别方式：

“ $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微”与“ $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导”互为充要条件。导数值存在即可微；

1. 写增量 $\Delta y$；
2. 写线性增量 $A\Delta x$；
3. 作极限 ${\lim }_{\Delta x\to x_0}\frac{\Delta y-A\Delta x}{\Delta x}$；

若极限等于0，则可微，否则不可微。

可微的含义

用“简单的”线性增量 $\mathrm{d}y$ 代替了“复杂的”增量 $\Delta y$ ，但是其产生的误差可以忽略不计。

Tip

因为 $x$ 的变化是线性的，因此 $\mathrm{d}x$ 与 $\Delta x$ 等价，可互换。

Attention

请一定区分微分和导数！

几何意义

用切线段近似代替曲线段。

Tip

为什么 $\mathrm{d}y$ 和 $\Delta y$ 不一样，而 $\mathrm{d}x$ 与 $\Delta x$ 等价，在看了这个图片之后应该会有清晰的理解。