参数方程函数导数

设函数 $y=y(x)$ 由参数方程确定：

$$\{\begin{array}{c}y=\psi (t)\\ x=\phi (t)\end{array}$$

其中 $t$ 是参数，且均可导， $\phi ’(t)\ne 0$ ，则：

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{\psi ’(t)}{\phi ’(t)}$$

参数方程的二阶导数

函数均二阶可导：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\psi ’’(t)\phi ’t-\psi ’(t)\phi ’’t}{[\phi ’(t){]}^3}$$

不用记这个表达式，请看下方化简写法。

推导

化简表达式

可以把一阶导整体看作一个新的函数 $\omega (t)$ ：

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x})}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}\omega (t)/\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x/\mathrm{d}t}=\frac{\omega ’(t)}{\phi ’(t)}$$