单调性与极值的判别

单调性的判别

设函数在开区间内连续，闭区间内可导：

1. 如果在范围内 $f’(x)\ge 0$ ，且等号仅在有限个点处成立，则函数在范围内严格单增；
2. 如果在范围内 $f’(x)\le 0$ ，且等号仅在有限个点处成立，则函数在范围内严格单减。

Info

此处张宇老师再次使用了超实数的概念，但我认为此处按照普通的方式进行理解即可。

极值点的必要条件

一阶可导点是极值点的必要条件：

$f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导且取得最值 => $f’(x)=0$

Question

思考： $y=|x|$ 在 $x=0$ 点处不可导，但该点是极小值。

Info

证明：详见 费马定理 待完善

判别极值的充分条件

第一充分条件

点的信息/条件较弱

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续 （不一定可导），去心邻域内可导：

1. 左邻域 $f’(x)<0$ ，右邻域 $f’(x)>0$ ：在 $x=x_0$ 处取得极大值；
2. 反之取得极小值。
3. 若 $f’(x)$ 不变号，则 $x_0$ 不是极值点。

第二充分条件

点的信息/条件较强：如某点二阶可导

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 二阶可导，且 $f’(x_0)=0,f’’(x_0)\ne 0$ ：

1. 若 $f’’(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值；
2. 反之取得极大值。

第三充分条件

将第二充分条件扩充可以得到第三充分条件

设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处 $n$ 阶可导，且 $f^{(m)}(x_0)=0(m=1,2,\cdots ,n-1),f^{(n)}(x_0)\ne 0(n\ge 2)$ ：

1. 当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)<0$ 时，$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值；
2. 当 $n$ 为偶数且 $f^{(n)}(x_0)>0$ 时，$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值；

Info

至于 $n$ 为奇数的情况，详见凹凸性与拐点的判别 > 第三充分条件。 不考证明，学有余力可以看。