渐近线

概念

Quote

曲线上的点远离原点时，曲线与某直线充分靠近，直线为曲线的渐近线。

铅锤渐近线

${\lim }_{x\to x_0^{+/-}}f(x)=\infty$

则 $x=x_0$ 即为铅锤渐近线。

函数无定义点、定义区间端点、分段函数分段点

水平渐近线

${\lim }_{x\to +/-\infty }f(x)=y_1$

$y=y_1$ 即为水平渐近线。

${\lim }_{x\to +\infty }f(x)={\lim }_{x\to -\infty }f(x)=y_0$

$y=y_0$ 即为水平渐近线。

斜渐近线

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }[f(x)-(ax+b)]=0$$

两边同时除以 $x$ ：

$$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$$

$x\to +\infty$ ， $f(x)$ 与 $x^1$ 是同阶无穷大。速度可控。

$b={\lim }_{x\to \infty }[f(x)-ax]$

$y=ax+b$ 即为斜渐近线。

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注意

$y=x+\sin x$

$a$ 存在，但 $b$ 不存在 $\Rightarrow$ 无渐近线。

${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\sin x}{x}=0$

符合条件 $\Rightarrow y=0$ 是水平渐近线。

Tip

函数可以与渐近线有交点。

求渐近线

1. 找铅锤渐近线（找特殊点并计算极限值）
2. 找水平渐近线（计算 ${\lim }_{x\to \infty }f(x)$ ）
3. 找斜渐近线的 $a$ （计算 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{f(x)}{x}$ ）
4. 找斜渐近线的 $b$ （计算 ${\lim }_{x\to \infty }[f(x)-ax]$ ）

Attention

正无穷负无穷都要计算！

Tip

解答思路：