基本积分公式

Important

请一定牢记接下来的公式。因为考试时，所有的积分计算都将化为下方的公式。

最重要的几个公式

• $\int a^x\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0,a\ne 1)$

原函数为三角函数

• $\int \tan x\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C$

Info

$\tan x$ 积分证明推导：

\begin{align*} & \int \tan x \mathrm{d}x\\ =& \int \frac{\sin x}{\cos x} \mathrm{d}x\\ =& -\int \frac{1}{\cos x} (\cos x)' \mathrm{d}x \end{align*}

令 $\cos x=U$

\begin{align*} =& -\int \frac{1}{U} \mathrm{d}U \\ =& -\ln |U| + C \\ =& -\ln |\cos x| + C \end{align*}

• $\int \frac{\mathrm{d}x}{\cos x}=\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$
• $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin x}=\int \csc x\mathrm{d}x=\ln |\csc x-\cot x|+C$

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原函数为 $\frac{1}{m^2\pm n^2}$

不含根号

• $\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$
• $\int \frac{1}{x^2-a^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$
• $\int \frac{1}{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x+a}{x-a}\right|+C$

含根号

• $\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\ln \left|x+\sqrt{x^2-a^2}\right|+C$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin \frac{x}{a}+C$
• $\int \sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\frac{a^2}{2}\arcsin \frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C$