Gamma函数

$\Gamma$ 函数有时候在 反常积分的计算 时有奇效。

定义

如果需要计算的是 $e^x$ ，则用第一条；如果是 $e^{x^2}$ 则用第二条。

$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$

令 $x=t^2$ 得：

$\Gamma (\alpha )=2{\int }_0^{+\infty }{t}^{2\alpha -1}{e}^{-t^2}\mathrm{d}t(x,t>0)$

Info

$e^{-t^2}$ 是 高斯曲线 。

递推式

$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}\mathrm{d}x$

$\Gamma (\alpha -1)={\int }_0^{+\infty }{x}^{\alpha }{e}^{-x}\mathrm{d}x=\alpha \Gamma (\alpha )$

若 $x$ 为整数

后一项是前一项的 $\alpha$ 倍，即 $\Gamma (\alpha -1)=\alpha \Gamma (\alpha )$ ，所以找第一项：

$\Gamma (1)=1$

$\Rightarrow \Gamma (2)=1,\Gamma (3)=2\cdot 1,\Gamma (4)=3\cdot 2\cdot 1\cdots$

$\Rightarrow \Gamma (n+1)=n!$

若 $x$ 为分数

$\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$

Info

可用下方 高斯曲线 面积证明。

$\Rightarrow \Gamma \left(\frac{5}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}\sqrt{\pi }$

定义域

Question

$\Gamma$ 函数的定义域？

让 $\Gamma$ 函数收敛的 $x$ 的取值

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高斯曲线

$y=e^{t^2}$

曲线下围成的面积为 $\sqrt{\pi }$ ，一半为 $\frac{\sqrt{\pi }}{2}$ 。

Note

证明详见 二重积分 p255