其他几何应用

平面上的曲边梯形的形心坐标

求 $D$ 点的形心坐标 $(\bar{x},\bar{y})$ :

$\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$

$\bar{y}=\frac{\frac{1}{2}{\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x}{{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x}$

Info

推导需要用到二重积分，数二的同学不用知道，记住就行。

平面曲线的弧长

若曲线由：

1. 直角方程 $y=y(x)$ 给出，则 $s={\int }_a^b\sqrt{1+[y^{\prime }(x){]}^2}\mathrm{d}x$
2. 参数方程 $x=x(t),y=y(t)$ 给出，则 $s={\int }_a^b\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}\mathrm{d}t$
3. 极坐标方程 $r=r(\theta )$ 给出，则 $s={\int }_a^b\sqrt{[r(\theta ){]}^2+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}\mathrm{d}\theta$

平行截面面积已知的立体体积

立体图形的截面面积是一个连续函数 $A(x)$ ，其体积为：

$V={\int }_a^{b}A(x)\mathrm{d}x$