函数的平均值

连续函数在区间 $[a,b]$ 上的平均值为：

$\bar{y}=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}y(x)\mathrm{d}x=y(\xi )$

Tip

联想 不定积分 > 积分中值定理

例题

Example

设 $f(x)$ 连续，且 $f(x+2)-f(x)=x$， ${\int }_0^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$，求 $f(x)$ 在 $[1,3]$ 上的平均值。

套公式直接来吧！

$\bar{f}=\frac{1}{3-1}{\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x$

可以发现题目中的区间 ${\int }_0^2$ 和 计算出的 ${\int }_1^3$ 的长度一样，立即联想周期函数的 区间平移 性质。

Info

见 定积分的计算 > 重要结论

虽然本题不是周期函数，但可以按照这个思想写出：

$F(x)={\int }_x^{x+2}f(t)\mathrm{d}t$

因此题目条件变为 $F(0)=0$ ，所求变为 $F(1)$。求导可得：

$F^{\prime }(x)=f(x+2)-f(x)=x$

$F(x)=\frac{x^2}{2}+C$

又因为 $F(0)=0$，可得 $C=0$。因此：

$\bar{f}=\frac{1}{2}{\int }_1^{3}f(x)\mathrm{d}x=F(1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$