积分等式

Info

本章几乎没有新的知识点，主要是题目练习为主，因此这里会给出部分较经典例题的步骤。但这并不意味着这章不重要！

用中值定理

推广的积分中值定理

设 $f(x),g(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，且 $g(x)$ 不变号，则存在 $\xi$ 使：

${\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x=f(\xi ){\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$

不定积分 > 积分中值定理

Note

如果题目没有要求证明，则可以直接使用该结论。

1. 若 $[a,b]\to [a,x]$ ，则 $\xi$ 变为关于端点的函数： $\xi (x)$；
2. 若 $f(x)\to f(x,n)$ ，则 $\xi$ 变为关于 $n$ 的函数： $\xi (n)$。

用夹逼准则

一般要求

Example

计算：${\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1(n+1)x^n\ln (1+n)\mathrm{d}x$

凑微分：

${\int }_0^1\ln (1+x)\mathrm{d}{x}^{n+1}$

反对幂指三，使用积分部分进行分部积分 $u\mathrm{d}v$：

$=x^{n+1}\ln (1+x){|}_0^1-{\int }_0^1{x}^{n+1}\frac{1}{x+1}\mathrm{d}x$

$=\ln 2-{\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}\mathrm{d}x$

因此再对内部积分部分进行极限计算。题目变为：

$\Rightarrow {\lim }_{n\to \infty }{\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}\mathrm{d}x$

放缩&夹逼：

$0\le \frac{x^{n+1}}{x+1}\le \frac{x^{n+1}}{0+1}=x^{n+1}$

$\Rightarrow 0\le {\int }_0^1\frac{x^{n+1}}{x+1}\le {\int }_0^1{x}^{n+1}=\frac{x^{n+2}}{n+2}{|}_0^1=\frac{1}{n+2}$

当 $n\to \infty$ ， $\frac{1}{n+2}\to 0$ ， 中间被夹逼到 $0$ 。

所以答案为 $\ln 2$。

用积分法

略 待完善