无穷小

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本概念来自于张宇考研数学基础30讲 2025版

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一共有两种无穷小：

1. 不为零的，趋近于零的过程；
2. 零本身（最高阶无穷小）。

无穷小到底有多小？

理论上说，无穷小代表着任意小。事实上，无穷小和无穷大都属于超实数，而无穷小这个超实数小于任何一个实数。

当一个函数极限趋近于某个值，那么我们可记为：

${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$

在一般情况下，我们的函数本身是无法取得 $x=x_0$ 这个值的，因此我们可以将这个函数写为：

$f(x)=A+a_0$

我们成功将这个函数扩展到了超实数领域：其中 $A$ 是这个超实数的实数部分，$a_0$ 是超实数部分。

如果理解有困难，请类比实数的实部与虚部。

当 $x$ 越来越趋近于 $x_0$ 时， $a_0$ 也会随之变小，最后逐步变成一个非零的，极其微小的数，即为无穷小量。

提示

引入超实数其实就是想告诉你：趋于某个数并不是就等于某个数，而是找到这个函数的实数部分。 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A\ne f(x_0)=A$

无穷小的性质

1. 有限个无穷小的和/乘积是无穷小（但无穷个无穷小的和不一定是无穷小）
2. 有界函数于无穷小的乘积是无穷小

无穷小的比阶

设 $\lim \alpha (x)=0,\lim \beta (x)=0$，且 $\beta (x)\ne 0$，则：

高阶无穷小

$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=0$

低阶无穷小

$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=\infty$

同阶无穷小

$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=c\ne 0$

等价无穷小

$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}=1$

k阶无穷小

$\lim \frac{\alpha (x)}{[\beta (x){]}^k}=c\ne 0$

Caution

不是所有的无穷小都可以进行比阶。