等价无穷小

等价无穷小不是相等

代表了两个超实数在某个点趋近于其实数部分的速度相同，因此可以相互替换。

常用等价无穷小

Important

一定要熟记并应用!!

当 $x\to 0$：

• $x\sim \sin x$
• $x\sim \tan x$
• $x\sim \ln (1+x)$
• $x\sim e^x-1$
• $x\sim \arcsin x$
• $x\sim \arctan x$
• $a^x-1\sim x\ln a$
• $x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
• $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

推广： $1-(\cos x{)}^a\sim \frac{1}{2}a{x}^2$

• $(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$

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• $\ln (x+\sqrt{1+x^2})\sim x$
• $\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$
• $\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
• $x-\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3$

另外，还有一部分利用泰勒公式人为创造的“差函数”等价无穷小。