洛必达法则

Fun Fact

洛必达法则不是洛必达发明的，是伯努利卖给他的 :)

Warning

仅适用于单变量求导，多元函数不可以使用洛必达！

法则本身

${\lim }_{x\to a/\infty }\frac{f(x)}{F(x)}={\lim }_{x\to a/\infty }\frac{f’(x)}{F’(x)}$

使用要求

$\frac{0}{0}$型

1. 当 $x\to a$ （或 $x\to \infty$）时，函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 都趋于零；
2. $f’(x)$ 和 $F’(x)$ 在点 $a$ 的某个去心邻域内（或当 $x$ 非常大时）存在，且 $F’(x)\ne 0$；
3. ${\lim }_{x\to a/\infty }\frac{f(x)}{F(x)}$ 存在或为无穷大。

$\frac{\infty }{\infty }$型

1. 当 $x\to a$ （或 $x\to \infty$）时，函数 $f(x)$ 和 $F(x)$ 都趋于无穷大；
2. $f’(x)$ 和 $F’(x)$ 在点 $a$ 的某个去心邻域内（或当 $x$ 非常大时）存在，且 $F’(x)\ne 0$；
3. ${\lim }_{x\to a/\infty }\frac{f(x)}{F(x)}$ 存在或为无穷大。

Tip

• 结果存在 $\to$ 原式存在： 右存在，则左存在；但左存在，不一定右存在。
• 若一次运算的结果仍然满足洛必达法则的条件，可继续使用洛必达法则。
• （超纲）只要上下能求导，且下方为无穷，也可以使用洛必达。
• 经常配合泰勒公式进行计算

证明

详见中值定理 > 8. 柯西中值定理

使用小技巧

$\lim a\ast b$ 想用洛必达，怎么办？

$\lim a\ast b=\lim \frac{a}{\frac{1}{b}}$

设置分母有原则，简单因式才下放。

• 简单： $x^{\alpha },e^{\beta x},\sin \gamma x$
• 复杂： $\arcsin x,\arctan x,\ln x,\cdots$