泰勒公式

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定义

官方定义

设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处 $n$ 阶可导，则存在 $x=0$ 的一个邻域，对于该邻域内任一点 $x$ ，有 $f(x)=f(0)+f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

佩亚诺余项

最后剩下的那个无穷小量。

人话定义

1. 几乎任何函数都可以用多项式（幂函数）进行近似；
2. 方法就是不停对某一个点进行求导，将每次求导得到的数值除以 的阶乘作为第 次项的系数；
3. 最后加上一个佩亚诺余项。

Tip

• 阶数越大，逼近越精确；
• 经常配合洛必达法则进行计算，但泰勒更优；
• 泰勒多项式就是去掉佩亚诺余项剩下的多项式。
• 对 $F(x)=f(x)\cdot g(x)$ 进行泰勒展开，可以分别展开 $f(x)$ 和 $g(x)$，再 相乘 找到自己想要的次数并相加即可

‼️常用泰勒公式

熟记

背会泰勒公式，一站直达！ 每天起床头件事，先背一遍展开式

• $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
• $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
• $\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
• $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
• $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
• $(1+x{)}^a=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$
• $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$

Info

记忆困难？试试这个方法！ 【数学135】4分钟通透泰勒展开式

创造的“差函数”等价无穷小

对上述常用泰勒公式进行处理后，可得到一组差函数的等价无穷小代换式，如：

$x-\sin x=\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$

因此同理，可以得到：

• $x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
• $\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
• $\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$
• $x-\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3$
• $x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2$

  也与 $1-\cos x$ 等价

• $e^x-1-x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

另外：

1. 不要忘记将这些公式广义化，不要局限于 $x$ 的形式。（超级小狗）
2. 不要忘记两边可以同时取负号！

Tip

这些公式记熟，比洛必达更快！真的超级好用！

应用时的展开原则

$\frac{A}{B}$型，适用“上下同阶”原则

如果分母（或分子）是 $x^k$ ，则应把分子（或分母）展开到 $x^k$。

此时可使用等价无穷小进行替换展开。

例：

计算 ${\lim }_{x\to 0}\frac{x-\ln (1+x)}{x^2}$

对分子进行泰勒展开： $\ln (1+x)=x+o(x)$ $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$ 因为分母是 $x^2$ ，因此选择二次项，带入并计算即可。

$A-B$ 型，适用“幂次最低”原则

将 $A$，$B$ 分别展开到他们系数不相等的 $x$ 的最低次幂为止。

例：

原式为： $\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}$

对二者分别展开： $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)$ $e^{-\frac{x^2}{2}}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4)$ 然后再进行运算： $\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}=-\frac{1}{12}{x}^4+o(x^4)$