一阶微分方程求解

可分离变量型微分方程

直接可分离

能写成 $y^{\prime }=f(x)g(y)$ 形式的方程称为可分离变量型微分方程。

解法：

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)\Rightarrow \int \frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\mathrm{d}x$

Tip

• 能写成 意味着可能需要额外步骤进行变形。事实上，题目最后一两步一般会变成上述形式。
• 物以类聚，人以群分，把 $x$ 和 $y$ 分别放两边，再积分。

换元后可分离

形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(ax+by+c)$ 的方程，其中 $a,b,c$ 全都不为零。

解法：

令 $u=ax+by+c$ ，则求导得： $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=a+b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，代入原方程得： $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=a+bf(u)$

齐次型微分方程

形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\phi \left(\frac{y}{x}\right)$ 的方程叫做齐次型微分方程。

解法：

令 $u=\frac{y}{x}$ ，则 $y=ux\Rightarrow \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$

原方程变为 $x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u=\phi (u)$ 即： $\frac{\mathrm{d}u}{\phi (u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$

一阶线性微分方程

重要

形如 $y^{\prime }+p(x)y=q(x)$ 的方程叫做一阶线性微分方程。

其中： $p(x),q(x)$ 为已知的连续函数

通解公式：

$y=e^{-\int p(x)\mathrm{d}x}\left[\int e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\cdot q(x)\mathrm{d}x+C\right]$

Important

公式推导（很重要，不要跳过） $y^{\prime }+py=q$

Tip

• 乘积求导公式为 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$；
• 且 $(e^{\int p\mathrm{d}x}{)}^{\prime }=e^{\int p\mathrm{d}x}p$

原式左右同时乘以 $e^{\int p\mathrm{d}x}$ 得： $e^{\int p\mathrm{d}x}\cdot y^{\prime }+e^{\int p\mathrm{d}x}\cdot py=e^{\int p\mathrm{d}x}\cdot q$ 如果把 $e^{\int p\mathrm{d}x}$ 看作 $v$ ； $y$ 看作 $u$ ，因此整个等式左边可认为是 $u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$ ，符合乘积求导公式。原式化为： ${\left(y\cdot e^{\int p\mathrm{d}x}\right)}^{\prime }=e^{\int p\mathrm{d}x}\cdot q$ 两边积分： $y\cdot e^{\int p\mathrm{d}x}=\int e^{\int p\mathrm{d}x}\cdot q\mathrm{d}x+C$ $y=e^{-\int p\mathrm{d}x}\left(\int e^{\int p\mathrm{d}x}\cdot q\mathrm{d}x+C\right)$

Tip

因为 $\int p(x)\mathrm{d}x$ 和 $\int q(x)e^{\int p(x)\mathrm{d}x}$ 均应理解为某一个不含任意常数的原函数，故公式可写为：

• $\int p(x)\mathrm{d}x\Rightarrow {\int }_{x_0}^{x}p(t)\mathrm{d}t$
• $\int q(x)e^{\int p(x)\mathrm{d}x}\Rightarrow \int q(t)e^{{\int }_{x_0}^{x}p(s)\mathrm{d}s}$ $y=e^{-{\int }_{x_0}^{x}p(t)\mathrm{d}t}\left[{\int }_{x_0}^{x}q(t)e^{{\int }_{x_0}^{t}p(s)\mathrm{d}s}\mathrm{d}t+C\right]$

伯努利方程*

形如 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y=q(x)y^n(n\ne 0,1)$ 的方程叫做伯努利方程。

解法：

1. 先左右乘 $y^{-n}$ ： $y^{-n}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+p(x)y^{1-n}=q(x)$
2. 换元：令 $z=y^{1-n}$ ，得 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=(1-n)y^{-n}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，则 $\frac{1}{1-n}\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}+p(x)z=q(x)$
3. 解一阶线性微分方程即可。

Note

不是考纲，但有可能考！题目提示用换元法： 令 $z=y^{1-n}$，化简方程并求解。

二阶可降阶微分方程

Tip

用换元法化为一阶方程

$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$ 型

方程中 不显含 未知函数 $y$ ，彻底消灭 $y$

1. 令 $y^{\prime }=p(x),y^{\prime \prime }=p^{\prime }$ ，则原方程变为一阶方程 $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=f(x,p)$
2. 若解得通解为 $p=\phi (x,C_1)$ ，即 $y^{\prime }=\phi (x,C_1)$ ，则原方程的通解为 $y=\int \phi (x,C_1)\mathrm{d}x+C_2$

$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$ 型

重要 方程中 不显含 自变量 $x$ ，彻底消灭 $x$

1. 令 $y^{\prime }=p(y),y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot p$ ，原方程变为 $p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p)$
2. 解得通解 $p=\phi (y,C_1)$ ，得 $p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\phi (y,C_1)$ ，分离变量得 $\frac{\mathrm{d}y}{\phi (y,C_1)}=\mathrm{d}x$
3. 两边积分得 $\int \frac{\mathrm{d}y}{\phi (y,C_1)}=x+C_2$

Note

注意区分两个 $p$ 函数，一个是 $x$ 的函数，一个是 $y$ 的。

$y^{\prime \prime }=f(y^{\prime })$ 型

既不含 $y$ 又不含 $x$ ，则按照不含 $y$ 的方法求解 $y” = f(x,y’)$ 型 。