不定积分

原函数与不定积分

设函数 $f(x)$ 定义在某区间上，若存在可导函数 $F(x)$ 在区间内都有 $F’(x)=f(x)$ ，则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间上的一个原函数。

称 $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$ 为 $f(x)$ 在区间上的不定积分。

Tip

• 不定积分表达的是全体原函数；定积分 才是真正的运算。
• 不定积分的 $\int \mathrm{d}x$ 不是运算符，而是记号。

Attention

仅仅熟悉概念是不够的。请结合 例 8.1 理解。 原函数一定要处处可导，否则他不能成为任何函数的原函数！

积分中值定理

设 $f(x)$ 连续，则 $\exists \xi \in (a,b)$ 使：

${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=f(\xi )(b-a)$

Tip

这条定理可以将积分转化为函数的形式。每当看到积分与函数混合计算，则借助积分中值定理统一为函数。 一般使用时，函数上下限 $a,b$ 为 $x,x+\Delta x$ ，当 $\Delta x\to 0,\xi \to x$ （夹逼）。

不定积分存在定理

Info

也是原函数存在定理

困难

1. 连续函数 $f(x)$ 必有原函数 $F(x)$。

$$f(x)连续\Rightarrow \int f(x)\mathrm{d}x={\int }_a^{x}f(t)dt+C$$

Attention

该公式十分 重要

2. 含有一类间断点和无穷间断点的函数在包含间断点的区间内必没有原函数。

Info

忘记了？赶快看下间断点的分类：函数的连续与间断 > 间断点

开始学习计算：不定积分的积分法