函数极限的计算

1. 运算规则

共有 $7$ 种运算规则，请一定掌握。（泰勒展开原则已并入泰勒公式中）

四则运算规则

若 $\lim f(x)=A,\lim g(x)=b$，则：

1. $\lim [kf(x)\pm l\lim g(x)]=kA\pm lB$
2. $\lim [kf(x)\cdot g(x)]=A\cdot B$
3. 若 $\lim f(x)$ 存在，且 $n$ 为正整数，则 $\lim [f(x){]}^n=[limf(x){]}^n$
4. $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}(B\ne 0)$

Caution

1. 只有函数极限 存在 才可以拆开合并；
2. 如果 $\lim f(x)=A\ne 0$ ，那么 $\lim f(x)g(x)=A\lim g(x)$

一些结论

• 若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=A$，且 $\lim g(x)=0$，则 $\lim f(x)=0$；
• 若 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=A\ne 0$，且 $\lim f(x)=0$，则 $\lim g(x)=0$。

洛必达法则

很好用，但一定要注意使用条件！

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详细请看洛必达法则的链接文档。

泰勒公式

真正的高手会熟练使用泰勒公式。

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详细请看泰勒公式的链接文档。

无穷小的运算

1. 加减法时：低阶吸收高阶： $o(x^m)\pm o(x^n)=o(x^l),l=\min [m,n]$
2. 乘法时：阶数会“累加” ： $o(x^m)\cdot o(x^n)=o(x^{m+n}),x^m\cdot o(x^n)=o(x^{m+n})$
3. 非零常数相乘不影响阶数： $o(x^m)=o(k{x}^m)=k\cdot o(x^m),k\ne 0$

两个重要极限

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详细请看两个重要极限的链接文档。

夹逼准则

用处极广泛，会在意想不到的地方用上。

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详细请看夹逼准则的链接文档。

2. 七种未定式的计算

考研数学的 函数极限计算题 一般可以归纳为下列 $7$ 种未定式：

$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0\cdot \infty ,\infty -\infty ,{\infty }^0,0^0,1^{\infty }$

Caution

未定式的“未定”由你来定，有可能存在有可能不存在。 里面所有的数都是超实数。

题型可能为： 直接计算、反求参数、已知极限求另一极限、无穷小的比阶 等。

解题思路

1. 化简先行（不要上来就洛！！）

   1. 提出极限不为0的因式；

   2. 等价无穷小代换；

   3. 恒等变形：

      • 基本方法：提公因式、拆项、合并、分子分母同除变量的最高次幂等等。
      • 高级方法：变量代换（换元法）
2. 判断类型
   1. 零比零
   2. 无穷比无穷
   3. ……
3. 选择方法
   1. 洛必达
   2. 泰勒公式
   3. 夹逼准则
   4. ……

Example

例：化简 ${\lim }_{x\to 0}(\frac{1+\sin x}{x}-\frac{1}{e^x-1})$ ${\lim }_{x\to 0}(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1})+{\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ 后面再进行其他计算

抓大头

• 当 $x\to \infty$ ，抓分子分母最高次项；
• 当 $x\to 0$ ，抓分子分母最低次项。

一个 重要 但简单的计算方法

如果 $\lim u^v$ 属于 “ $1^{\infty }$ ” 型，那么：

$\lim u^v=e^{\lim (u-1)v}$

简单推导

因为 $u^v=e^{v\ln u}$

又因为当 $u\to 1$ 时， $\ln u\sim u-1$

所以当 $u\to 1,\lim u^v=e^{\lim (u-1)v}$

Tip

好处：可以去掉 $\ln$ ，而且比凑重要极限更快。

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Check

接下来你该完成 大量的 例题练习了！本笔记暂时不纳入习题，以后可能会考虑加入习题集。